Тригонометричні функції

Загальний вигляд тригонометричних функцій

Тригонометри́чні фу́нкції — функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.

Базові тригонометричні функції. 

• синус (sin α)
• косинус (cos α)
• тангенс (tg a = sin α/cos α)
• котангенс (ctg a = cos α/sin α)

Роздивимося тригонометричні функції через прямокутний трикутник:

• Синусом кута  називається відношення протилежного катета  до гіпотенузи.
• Косинусом кута  називається відношення прилеглого катета  до гіпотенузи.
• Тангенсом кута називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.
• Котангенсом кута називається відношення прилеглого катета до протилежного катета

Кути вимірюються градусами і радіанами.

Радіаном називається гострий кут, під яким видно з центра кола 0 дугу , довжина якої дорівнює радіусу.

Тригонометричні функції числового аргументу

Відомо, що яким би не було дійсне число α, йому можна поставити у відповідність однозначно певне число sin α.

Правило відповідності наступне:

1. розташуйте одиничне (радіус кола = 1) коло на координатній площині так, щоб центр кола співпав з початком координат, а початкова точка кола потрапила в точку (1;0);
2. на колі знайдіть точку, що відповідає числу α;
3. знайдіть ординату цієї точки, яка і є sin α. 

Це і буде функція s=sinα,α∈R

Ця функція називається тригонометрична функціями числового аргументу α.    

Рівності, що зв’язують значення різних тригонометричних функцій. 

tgα=sin²α + cos²α=1, 

tgα = sin α /cos α, α≠π/2+πk;

ctgα=cos α/sin α, α≠πk,  k∈Z.

tgα⋅ctgα=1, α≠πk/2, k∈Z.

 Дві важливі формули:

1+tg²α=1/cos²α, α≠π/2+πk;

1+ctg²α=1/sin²α, α≠πk, k∈Z.

Область визначення і множина значень тригонометричних функцій

 

Кожному дійсному числу x відповідає єдина точка одиничного кола A, що отримується поворотом точки (1;0) на кут x рад.

Для цього кута визначені sinx і cosx , AB=sinx; OB=cosx  

Кожному дійсному числу x поставлені у відповідність числа sinx  і cosx, тобто на множині R всіх дійсних чисел визначено функції y=sinx і y=cosx.

Таким чином, областю визначення функцій y=sinx і y=cosx є множина R всіх дійсних чисел. Множиною значень функцій y=sinx і y=cosx є проміжок [−1;1].

 

 

• Функція y=tgx визначається з ΔOAB, як tgx=AB/OB=sinx/cosx
  Ця функція визначена при тих значеннях, для яких cosx≠0
  Отже, областю визначення функції y=tgx є вся множина дійсних чисел, крім x =π/2+πn, n∈Z
  Множиною значень функції y=tgx є множина всіх дійсних чисел R.
• Функція y=ctgx визначається із ΔOAB, як ctgx=OB/AB=cosx/sinx.
  Ця функція визначена при тих значеннях, для яких sinx≠0
  Отже, областю визначення функції y=ctgx є вся множина дійсних чисел, крім  x=πn, n∈Z
  Множиною значень функції y=ctgx є множина всіх дійсних чисел R.

Графіки тригонометричних функцій

Зручно будувати графіки таких тригонометричних функцій за допомогою тригонометричного кола

Перевір знання – пройди тест!