IT-школа
Тригонометричні вирази
Перетворення тригонометричних виразів — це спрощення виразів, яке виконується за допомогою тригонометричних формул.
Основні тригонометричні тотожності
Це такі рівності, які встановлюють зв’язок між синусом, косинусом, тангенсом або котангенсом одного кута і дозволяють знаходити будь-яку з цих тригонометричних функцій через відому іншу.
Парність і непарність
Функції визначає її симетрію. Функція y = f (x) є парною, якщо для будь-якого значення x∈X виконується рівність: f (-x) = f (x). … Графік парної функції також буде симетричний щодо центру координат. Непарною називається функція y = f (x) за умови виконання рівності f (-x) = – f (x).
Формули додавання і віднімання
Формули додавання висловлюють синус, косинус, тангенс і котангенс суми і різниці двох кутів повороту α і b через тригонометричні функції цих кутів.
Формули подвійного кута
Формули подвійного кута служать для вираження синусів, косинусів, тангенсів, котангенсів кута зі значенням 2α, використовуючи тригонометричні функції кута α.
Формули половинного аргумента
Їх ще називають формулами половинного кута) висловлюють синус, косинус, тангенс або котангенс кута α/2 через тригонометричні функції самого кута α, І тим самим являють собою деяку протилежність формулами подвійного кута.
Формули перетворення суми і різниці у добуток
Формули потрійного кута
Формули, які пов’язують тригонометричні функції кута 3α (синус, косинус, тангенс і котангенс) з тригонометричними функціями кута α.
Універсальна підстановка через тангенс половинного аргументу
Підстановка має на увазі вислів синуса, косинуса, тангенса або котангенс будь-якого кута через тангенс половинного кута. Ця заміна проводиться без коренів, тобто раціонально.
Формули перетворення добутку в суму і різницю
Правила перетворення тригонометричних виразів:
- Якщо в тригонометричних вираз різні міри кутів, то необхідно привести до однієї (радіанної або градусної).
Приклад
cos²(45°)+4⋅sin²(π/8)⋅cos²(π/8)=cos²(45°)+sin²(π/4)=cos²(45°)+sin²(45°)=1.
- Якщо в тригонометричному виразі маємо різні аргументи (кути), то потрібно привести до одного аргументу (кута).
Приклад
cos²(2β)+(2/tg²(β)+1)−1=cos²(2β)+2⋅cos²(β)−1=cos²(2β)+cos²(2β)=2⋅cos²(2β).
- Застосовуємо формули зведення або тригонометричні тотожності, для того, щоб звести до тригонометричного виразу з меншою кількістю функції.
Приклад
cos(765°)+sin(27π/4)=cos(720°+45°)+sin(6π+π/2+π/4)=cos(45°)+sin(π/4)=√2/2+√2/2=2√2=
=√2.
- Для пониження степеня тригонометричної функції необхідно застосовувати формули зниження степеня.
Приклад
sin²(α/2)+1/2⋅cos(α)=(1−cos(α)/2)+1/2⋅cos(α)=1−1/2⋅cos(α)+1/2⋅cos(α)=1.
- При перетворенні тригонометричних виразів використовують відомі тригонометричні формули, в тому числі і співвідношення між оберненими тригонометричними функціями.