Подільність натуральних чисел. НСК. НСД. Взаємно прості числа

1. Подільність натуральних чисел

Ознаки подільності

Щоб швидко визначити, чи ділиться число на інше без залишку, використовують ознаки подільності:

✅ На 2 – число ділиться на 2, якщо воно парне (остання цифра 0, 2, 4, 6, 8).
Приклади: 12, 34, 88 – діляться на 2; 15, 27 – не діляться.

✅ На 3 – число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3.
Приклади: 132 (1 + 3 + 2 = 6, ділиться на 3) – ділиться на 3.

✅ На 5 – число ділиться на 5, якщо його остання цифра 0 або 5.
Приклади: 25, 50, 75 – діляться на 5; 62, 47 – не діляться.

✅ На 9 – число ділиться на 9, якщо сума його цифр ділиться на 9.
Приклад: 729 (7 + 2 + 9 = 18, ділиться на 9) – число ділиться на 9.

✅ На 10 – число ділиться на 10, якщо його остання цифра 0.
Приклади: 40, 60, 120 – діляться на 10; 35, 92 – не діляться.

2. Прості та складені числа

Прості числа

Прості числа – це числа, які мають тільки два дільники: 1 і саме це число.
Приклади: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Найменше просте число – 2. Це єдине парне просте число.

Складені числа

Складені числа – це числа, які мають більше двох дільників.
Приклади: 4 (1, 2, 4), 6 (1, 2, 3, 6), 9 (1, 3, 9), 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12).

3. Найбільший спільний дільник (НСД)

Найбільший спільний дільник (НСД) – це найбільше число, на яке діляться дані числа без залишку.

Спосіб знаходження НСД

1️⃣ Розкласти числа на прості множники.
2️⃣ Знайти спільні множники.
3️⃣ Перемножити їх.

🔹 Приклад: Знайдемо НСД(36, 48).
Розкладемо числа на прості множники:

36=2²×3²

48=2³×2×3

Спільні множники: 2² і 3.
Множимо: 2²×3=4×3=12
Отже, НСД(36, 48) = 12.

4. Найменше спільне кратне (НСК)

Найменше спільне кратне (НСК) – це найменше число, яке ділиться на дані числа.

Спосіб знаходження НСК

1️⃣ Розкласти числа на прості множники.
2️⃣ Взяти всі множники (найбільші степені).
3️⃣ Перемножити їх.

🔹 Приклад: Знайдемо НСК(36, 48).
Розкладемо числа на прості множники:

36=2²×3²

Беремо всі множники у найбільшому степені:
2³×2×3²=16×9=144
Отже, НСК(36, 48) = 144.

5. Взаємно прості числа

Взаємно прості числа – це числа, у яких немає спільних дільників, крім 1.

🔹 Приклади:

• 8 і 15 (спільний дільник тільки 1)
• 7 і 9 (спільний дільник тільки 1)
• 35 і 18 (спільний дільник тільки 1)

Перевірка взаємної простоти:
Якщо НСД(а, b) = 1, то числа взаємно прості.

🔹 Приклад:
Числа 9 і 16 – взаємно прості, бо НСД(9, 16) = 1.

6. Важливі висновки

✅ Ознаки подільності допомагають швидко визначити, чи ділиться число на 2, 3, 5, 9, 10.
✅ Числа бувають простими (2, 3, 5, 7, 11…) і складеними (4, 6, 8, 9…).
✅ НСД – найбільше число, яке ділить обидва числа.
✅ НСК – найменше число, яке ділиться на обидва числа.
✅ Взаємно прості числа – це числа, які мають тільки один спільний дільник – 1.