Раціональні вирази

Прокрутити вниз

Раціональні вирази – це математичні вирази, які містять дії додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня із цілим показником.

Загальні положення раціональних виразів

Раціональний вираз — це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій і операції піднесення до степеня з використанням дужок. 

  • Будь-який цілий алгебраїчний вираз можна записати у вигляді многочлена.
  • Перетворення раціонального виразу — це спрощення раціонального виразу.

Цілими виразами називають вирази, що не містять ділення на вираз зі змінною.

Наприклад:

Дробовими виразами називають вирази, що містять ділення на вираз зі змінною.

Наприклад:

Якщо чисельник і знаменник дробу – многочлени, то дріб називають раціональним дробом.

Значення змінних, при яких вираз має зміст, називають допустимими значеннями змінних у виразі.

Ці значення утворюють область визначення виразу, або область допустимих значень змінних (ОДЗ) у виразі.

Знаходження області допустимих значень виразу (ОДЗ)

Значення змінних, при яких вираз має зміст, називають допустимими значеннями змінних. Ці значення утворюють область допустимих значень змінних (або область визначення).

Лайфхак: Якщо поставити до виразу питання: “Чого бути не може?”. То в шкільній програмі з математики отримаємо лише дві основні відповіді.

  1. Не можна ділити на 0 (тобто в дробовому раціональному виразі знаменник не може дорівнювати 0 )
  2. Підкореневий вираз (це стосується квадратного кореня) не може бути менший за нуль. Тобто підкореневий вираз не може бути від’ємним числом.

Представимо алгоритм пошуку ОДЗ в табличному вигляді:

 

Чого бути не може?
Знаменник не може дорівнювати 0 Підкореневий вираз не може бути від’ємний У знаменнику підкореневий вираз може були лише додатній
Приклад: Приклад: Приклад:
Чисельник: x-5

Знаменник: x-10

Підкореневий вираз: x-10 Підкореневий вираз у знаменнику: x-10
x-10≠0

x≠10

x∈(-∞;10)∪(10;+∞)

Відповідь: x може бути будь яким числом, крім 10.

x-10≥0

x≥10

x∈[10;+∞)

Відповідь: x лежить в проміжку від 10 (10 включно) до нескінченності.

x-10>0

x>10

x∈(10;+∞)

Відповідь: x лежить в проміжку від 10 (10 НЕ включно) до нескінченності.

Цілий раціональний вираз має зміст при будь-яких значеннях змінних:

Наприклад: при будь якому значенні x, цей вираз буде мати значення. 

Порядок дій при перетворенні раціональних виразів:

  1. Дії в дужках
  2. Операції множення (ділення)
  3. Операції додавання (віднімання)

Основна функція дужок – міняти порядок дій при обчисленнях значень числових виразів.

Розкриття дужок — це позбавлення від дужок.

Приклад:

перетворення раціональних виразів
перетворення раціональних виразів

Основні правила розкриття дужок:

  • Якщо перед дужками стоїть “плюс”, то знаки всіх чисел всередині дужок залишаються без змін.
  • Якщо перед дужками стоїть “мінус”, то знаки всіх чисел всередині дужок змінюються на протилежні.
  • Розподільчий закон множення: (a + b) ⋅c = ac + bc.

При перетворенні раціональних виразів також використовують формули скороченого множення:

(a + b)(a-b) = a2 – b2

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Приклади:

перетворення раціональних виразів використовуючи формули скороченого множення
перетворення раціональних виразів використовуючи формули скороченого множення
перетворення раціональних виразів використовуючи формули скороченого множення
перетворення раціональних виразів використовуючи формули скороченого множення
перетворення раціональних виразів використовуючи формули скороченого множення
перетворення раціональних виразів використовуючи формули скороченого множення

Важко? Не зрозумів матеріал? Звертайся до нашого репетиторського центру!