Раціональні вирази

Раціональні вирази – це математичні вирази, які містять дії додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня із цілим показником.

Загальні положення раціональних виразів

Раціональний вираз — це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій і операції піднесення до степеня з використанням дужок. 

• Будь-який цілий алгебраїчний вираз можна записати у вигляді многочлена.
• Перетворення раціонального виразу — це спрощення раціонального виразу.

Цілими виразами називають вирази, що не містять ділення на вираз зі змінною.

Наприклад:

Дробовими виразами називають вирази, що містять ділення на вираз зі змінною.

Наприклад:

Якщо чисельник і знаменник дробу – многочлени, то дріб називають раціональним дробом.

Значення змінних, при яких вираз має зміст, називають допустимими значеннями змінних у виразі.

Ці значення утворюють область визначення виразу, або область допустимих значень змінних (ОДЗ) у виразі.

Знаходження області допустимих значень виразу (ОДЗ)

Значення змінних, при яких вираз має зміст, називають допустимими значеннями змінних. Ці значення утворюють область допустимих значень змінних (або область визначення).

Лайфхак: Якщо поставити до виразу питання: “Чого бути не може?”. То в шкільній програмі з математики отримаємо лише дві основні відповіді.

1. Не можна ділити на 0 (тобто в дробовому раціональному виразі знаменник не може дорівнювати 0 )
2. Підкореневий вираз (це стосується квадратного кореня) не може бути менший за нуль. Тобто підкореневий вираз не може бути від’ємним числом.

Представимо алгоритм пошуку ОДЗ в табличному вигляді:

 

	Чого бути не може?
Знаменник не може дорівнювати 0	Підкореневий вираз не може бути від’ємний	У знаменнику підкореневий вираз може були лише додатній
Приклад:	Приклад:	Приклад:
Чисельник: x-5 Знаменник: x-10	Підкореневий вираз: x-10	Підкореневий вираз у знаменнику: x-10
x-10≠0 x≠10 x∈(-∞;10)∪(10;+∞) Відповідь: x може бути будь яким числом, крім 10.	x-10≥0 x≥10 x∈[10;+∞) Відповідь: x лежить в проміжку від 10 (10 включно) до нескінченності.	x-10>0 x>10 x∈(10;+∞) Відповідь: x лежить в проміжку від 10 (10 НЕ включно) до нескінченності.

Цілий раціональний вираз має зміст при будь-яких значеннях змінних:

Наприклад: при будь якому значенні x, цей вираз буде мати значення. 

Порядок дій при перетворенні раціональних виразів:

1. Дії в дужках
2. Операції множення (ділення)
3. Операції додавання (віднімання)

Основна функція дужок – міняти порядок дій при обчисленнях значень числових виразів.

Розкриття дужок — це позбавлення від дужок.

Приклад:

Основні правила розкриття дужок:

• Якщо перед дужками стоїть “плюс”, то знаки всіх чисел всередині дужок залишаються без змін.
• Якщо перед дужками стоїть “мінус”, то знаки всіх чисел всередині дужок змінюються на протилежні.
• Розподільчий закон множення: (a + b) ⋅c = ac + bc.

При перетворенні раціональних виразів також використовують формули скороченого множення:

(a + b)(a-b) = a² – b²

(a ± b)2 = a² ± 2ab + b²

(a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³

(a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Приклади:

Важко? Не зрозумів матеріал? Звертайся до нашого репетиторського центру!