Квадратична функція

Квадратична функція: у = ax² + bx + с, де

де x — незалежна змінна

a, b і с — деякі числа (коефіцієнти)

а ≠ 0 

Властивості квадратичної функції:

1. Область визначення квадратичної функції – вся числова пряма.

2. При b ≠ 0 функція не є парною і не є непарною. При b = 0 квадратична функція – парна.

3. Квадратична функція неперервна і диференційована на всій області визначення.

4.Функція має єдину критичну точку х = -b/2а (яка є ординатою точки вершини)

5. Область зміни функції:

при  a > 0 – безліч значень функції  ;

при a < 0 – безліч значень функції .

Графік квадратичної функції:

При 𝒃 = 𝒄 = 𝟎 функція набуває вигляду 𝒚 =𝒂x², де 𝒂 ≠ 𝟎.

Розглянемо докладніше графіки функцій 𝑦 = 2𝑥², 𝑦 = ½ x², 𝑦 = −2𝑥², 𝑦 = − ½ x².

Графік функції 𝑦 = 2𝑥² можна одержати з графіка функції 𝑦 = 𝑥², розтягнувши останній від осі Oх у 2 рази,

а графік функції 𝑦 = ½ x², стиснувши графік функції 𝑦 = x² до осі Oх у 2 рази.

Аналогічно можна побудувати графіки функцій y = −2𝑥² і 𝑦 = − ½ x², тільки вітки параболи будуть напрямлені вниз.

Властивості функції 𝒚 = 𝒂𝒙²,  де 𝒂 ≠ 𝟎

1. D(y) = (−∞; +∞) (D(y) – область визначення)
2. Якщо 𝑎 > 0 , то 𝐸(𝑦) = [0;+∞);  якщо 𝑎 < 0 , то 𝐸(𝑦) = (−∞; 0]. (Е(y) – область значень)
3. Графік функції — парабола.
4. Якщо 𝑥 = 0, то 𝑦 = 0. Графік проходить через точку (0; 0). Цю точку називають вершиною параболи.
5. Якщо 𝑎 > 0, то вітки параболи напрямлені вгору,  якщо 𝑎 < 0 — вниз.
6. Якщо 𝑎 > 0, то функція зростає на проміжку [0; +∞)  і спадає на проміжку (−∞; 0].
7. Якщо 𝑎 < 0, функція зростає на проміжку (−∞; 0] і спадає на проміжку [0; +∞).
8. Графік функції симетричний відносно осі Oy.

При 𝒃 = 𝟎, 𝒄 ≠ 𝟎 функція набуває вигляду 𝒚 = 𝒂𝒙² + 𝒄, де 𝑎 ≠ 𝟎, c ≠ 1

У цьому випадку графік функції можна отримати, здійснивши паралельне перенесення графіка функції 𝒚 = 𝒂𝒙² на с одиниць угору (якщо с > 0) або на |𝑐|  одиниць униз (якщо 𝑐 < 0).

Властивості функції 𝒚 =𝒂𝒙² +𝒄, де 𝑎 ≠ 𝟎, c ≠ 1

1. 𝐷(𝑦) = (−∞; +∞).
2. Якщо, то 𝐸(𝑦) = [𝑐; +∞), якщо, то 𝐸(𝑦) = (−∞; 𝑐].
3. Графік функції — парабола.
4. Якщо 𝑥 = 0, то 𝒚  = с.  Точка (0; c) — вершина параболи.
5. Якщо 𝑎 > 0, то вітки параболи напрямлені вгору, якщо 𝑎 < 0 — вниз.
6. Якщо 𝑎 > 0, функція зростає на проміжку [0; +∞) і спадає на проміжку (−∞; 0].
7. Якщо 𝑎 < 0, функція зростає на проміжку (−∞; 0] і спадає на проміжку [0; +∞).
8. Графік функції симетричний відносно осі Oy.

При 𝒃 ≠ 𝟎, 𝒄 ≠ 𝟎 функція набуває вигляду у = ax² + bx + с , де 𝑎 ≠ 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎, c ≠ 0

Графік квадратичної функції 𝒚= 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 +𝒄 у цьому випадку збігається з графіком функції 𝒚 = 𝒂𝒙², але дещо зміщений на координатній площині (уздовж обох осей). З’ясувати, як саме потрібно перемістити параболу 𝒚 =𝒂𝒙², можна, виділивши повний квадрат з квадратного тричлена 𝒂𝒙²+𝒃𝒙 + 𝒄. Маємо:

Позначимо   Х0 = -b/2a;  Y0 = 4ac-b2/4a . Тоді формулу  𝑦  = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥  +  𝑐 можна подати у вигляді 𝑦 = 𝑎  (𝑥 – 𝑥0)2 + 𝑦0.

Схема побудови шуканого графіка є такою:

На рисунку 2 показано побудову для випадку, коли 𝑎 > 0, 𝑥0 > 0, 𝑦0 > 0.

На рисунку 3 показано побудову для випадку, коли 𝑎 < 0, 𝑥0 < 0, 𝑦0 > 0.

Тепер можна зробити такий висновок:  графіком квадратичної функції 𝑦  = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐   є парабола, яка дорівнює параболі 𝑦 = 𝑎𝑥² з вершиною в точці (𝑥0; 𝑦0)=(𝑥В; 𝑦В), де  𝑥В = -b/2a , 𝑦В = 4ac-b2/4a

Вітки параболи 𝑦 =𝑎𝑥²  +𝑏𝑥 + 𝑐 напрямлені так само, як і вітки параболи 𝑦 = 𝑎𝑥²:

− якщо 𝑎 > 0, то вітки параболи напрямлені вгору,

− якщо 𝑎 < 0, то вітки параболи напрямлені вниз.

Віссю симетрії параболи є пряма 𝑥 = 𝑥В.

Вплив коефіцієнтів квадратичної функції на її графік

Найпростіша залежність для коефіцієнта а.  а > 0, то гілки параболи вгору, і якщо а < 0 – вниз.

Наприклад: y = -0,5x² – 3x + 1 ,  а = -0,5

 

Проаналізуємо вплив коефіцієнта с на розташування графіка функціі.

с > 0: якщо рівняння y = x² + 4x + 3 то с = 3

 

с < 0: якщо рівняння y = x² + 4x – 3 то с = -3

Відповідно, якщо с = 0, то парабола обов’язково проходитиме через початок координат: y = x² + 4x

 

Що з коефіцієнтом b. Скористаємося формулою хв = – b/2а. Тоді b = – 2ах.

Не зрозумів? Скористайся послугою репетитора!