Первісна функції

Функція F(x) називається первісною функції f(x) на даному проміжку, якщо для будь-якого x з цього проміжку F‘(x) = f(x).

Функція F(x) називається первісною (примітивною) для функції f(x) на інтервалі дійсних чисел, якщо

f(x) = F'(x) для всіх x ∈ J.

Нехай функція F — первісна функції f на інтервалі J. Тоді

функція F(x) є неперервною на інтервалі J;
функція F(x) + C теж є первісною для f на J, де C ∈ R — довільна стала (якщо функція f(x) має первісну, то вона має нескінченну кількість первісних);
будь-яка первісна для f на J може бути представлена у вигляді F(x) + C, де C ∈ R — довільна стала.

Ознака сталості функції

Якщо на деякому проміжку буде виконуватися рівність F’(x)=0,то тоді функція F на цьому проміжку постійна. Як вже відомо, для деякої функції f існує нескінченна багато її первісних.Всі первісні для деякої функції f можна записати з допомогою загального виду первісних.

Основна властивість первісної

Якщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на даному проміжку, а C – довільна стала, то F(x)+C є також первісною для функції f(x), при цьому будь-яка первісна для функції f(x) на даному проміжку може бути записана у вигляді F(x)+C , де С – довільна стала.

Графіки будь-яких первісних одержуються один з одного паралельним перенесенням уздовж осі ОУ.

Невизначений інтеграл

Задача диференціального числення — знаходження похідної від заданої функції y = f(x). Задача інтегрального числення протилежна: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома. Фундаментальними поняттями інтегрального числення є поняття первісної та невизначеного інтегралу.

Функція F — первісна для f на J. Невизначеним інтегралом від функції f називається сукупність усіх первісних цієї функції, тобто вираз

∫f(x)dx = F(x) + C , x ∈ J. де C ∈ R — довільна стала.

Функція f називається підінтегральною функцією,

f(x)dx — підінтегральним виразом,

C — сталою інтегрування,

x — змінною інтегрування.

З геометричної точки зору невизначений інтеграл — це сукупність ліній F(x) + C

Методи знаходження первісної:

Знаходження первісної для заданої функції f(x) називається інтегруванням. Для обчислення первісної використовуються ті самі методи, що і для обчислення невизначеного інтегралу, а саме

Таблиця основних формул інтегрування
Метод підстановки (або формула заміни змінної)
Метод інтегрування частинами

При обчисленні невизначеного інтеграла використовують заміну змінної і наступну залежність:

Якщо 𝑥=𝑓(𝑡), то 𝑑𝑥=𝑓′(𝑡)𝑑𝑡

Так само, якщо в залежності поміняти місцями 𝑥 і 𝑡.

Якщо 𝑡=𝑓(𝑥), то 𝑑𝑡=𝑓′(𝑥)𝑑𝑥.

Таблиця первісних

Функція f(x)	Загальний вигляд первісних F(x) + C
0	C
1	x+C
xⁿ(n≠-1)	(xⁿ⁺¹/n+1)+C
1/x	ln│x│+C
sin x	-cos x + C
cos x	sin x + C
1/cos²x	tg x + C
1/sin²x	-ctg x + C
e^x	e^x= e^x + C
a^x	(a^x/lna) + C

Приклад 1

Завдання: Знайдіть первісні для функції $f (x) = x + \cos x$

Розв’язання:

Оскільки для х одна з первісних є $\frac{x^{2}}{2}$ , а для cos x однією з первісних є sin x, то однією з первісних функції x+cos x є функція $\frac{x^{2}}{2} + \sin x$ , отже $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \sin x + C$ .

Відповідь: $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \sin x + C$

Приклад 2

Завдання. Знайдіть первісні для функції $f (x) = 5 e^{x} + 7 \sin x - 3 x^{2}$ .

Розв’язання:

Оскільки однією з первісних для функції $e^{x}$ є функція $e^{x}$ , то однією з первісних для функції $5 e^{x}$ є $5 e^{x}$ ; оскільки однією з первісних для функції sin x є –cos x; первісною $3 x^{2}$ є $\frac{x^{3}}{3}$

Отже, $F (x) = 5 e^{x} - 7 \cos x + x^{3} + C$

$F (x) = 5 e^{x} - 7 \cos x + x^{3} + C$ – первісні для функції $f (x) = 5 e^{x} + 7 \sin x - 3 x^{2}$

Відповідь: $F (x) = 5 e^{x} - 7 \cos x + x^{3} + C$

Приклад 3

Завдання: Знайдіть первісні для функцій:

а) $f (x) = (7 - 3 x)^{5}$

б) $f (x) = e^{2 x - 1}$

Розв’язання:

а) оскільки первісною для функції $x^{5}$ є функція $\frac{x^{6}}{6}$ , то шукані первісні

$F (x) = - \frac{1}{3} \frac{{(7 - 3 x)}^{6}}{6} + C = - \frac{{(7 - 3 x)}^{6}}{18} + C$ ;

б) оскільки однією з первісних для функції $e^{x}$ є функція $e^{x}$ , то маємо

$F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x - 1} + C$ .

Відповідь:

а) $F (x) = - \frac{{(7 - 3 x)}^{6}}{18} + C$

б) $F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x - 1} + C$ .

Не зрозумів матеріал – приходь на заняття, пояснимо більш детально !