Степенева функція

Загальний вигляд степеневої функціі:

Степеневою функцією називається функція виду y=xª, де

а – стале дійсне число

х (основа) – змінна

Властивості степеневої функції:

При знаходженні області визначення слід пам’ятати, якщо функція має вигляд  y=xª то:

1. якщо а – натуральне число, то D(y)=R;
2. якщо а – ціле від’ємне число або нуль, то D(y)=(−∞;0)∪(0;+∞);
3. якщо а – додатне не ціле число, то D(y)=[0;+∞);
4. якщо а – від’ємне не ціле число, то D(y)=(0;+∞).

 Властивості функції зображено у таблиці

Графіки степеневої функції

Якщо показник степеня а — натуральне число, то степенева функція задається  формулою y =xª.

• 

   

  Якщо а=1, то y=x¹ або y=x — пряма.

   

• 

   

  Якщо а=2, то y=x² — парабола.

   

• 

   

  Якщо а=3, то y=x³ — кубічна парабола.

   

Тож, висновок такий:

• Графік степеневої функції y=xª, де а — парне число (4,6,8…), набуває вигляду параболи.
• Графік степеневої функції y=xª, де а — непарне число (5,7,9…), набуває вигляду кубічної параболи.

Якщо показник степеня — ціле від’ємне число (-1, -2…), то степенева функція задається формулою y=x¯ª або y=1/xª.

Графік степеневої функції y=x¯ª, у випадку, коли а — парне число (4,6,8…), набуває вигляду. 

Наприклад, такого вигляду набувають графіки функцій y=x¯ª (а=4) , y=x¯ª(а=8).

Графік степеневої функції y=x¯ª, у випадку, коли а — непарне число (5,7,9…), набуває вигляду гіперболи.

Наприклад, такого вигляду набувають графіки функцій y=x¯ª (а=-5) , y=x¯ª(а=-11)

Графіки степеневих функцій y=xª  (а=m/n) , з додатним дробовим показником m/n.

1. Степенева функція y=xª  (а=m/n), де m/n>1 — неправильний дріб (чисельник більший від знаменника).
   Наприклад а=3/2, 4/3, 5/4…

Графік — вітка параболи.

Властивості функції y=xª  (а=m/n), де m/n>1

1. D(f)=[0;+∞);
2. E(f)=[0;+∞);
3. не є ні парною, ні непарною;
4. зростає при x∈[0;+∞);
5. не має найбільшого значення, Y найм.=0;
6.  необмежена зверху, обмежена знизу;
7. опукла вниз;
8. неперервна.

 

1. Степенева функція y=xª  (а=m/n), де 0<m/n<1  — правильний дріб (чисельник менший від знаменника).
   Наприклад а=2/3, 3/4, 4/5…

 Властивості функції y=xª  (а=m/n), де 0<m/n<1

1. D(f)=[0;+∞);
2. E(f)=[0;+∞);
3. не є ні парною, ні непарною;
4. зростає при x∈[0;+∞);
5. не має найбільшого значення, Yнайм.=0;
6. необмежена зверху, обмежена знизу;
7. опукла вгору;
8. неперервна.

 

1. Степеневі функції з від’ємним дробовим показником степеня y=x‾ª  (а=m/n)
   Наприклад а=3/2, 3/4…

Графік — вітка гіперболи.

Властивості функції y=x‾ª  (а=m/n). Графік має горизонтальну асимптоту y=0 і вертикальну асимптоту x=0.

1. D(f)=(0;+∞);
2. E(f)=(0;+∞);
3. не є ні парною, ні непарною;
4. спадає при x∈(0;+∞);
5. не має ні найбільшого, ні найменшого значення;
6. необмежена зверху, обмежена знизу;
7. опукла вниз;
8. неперервна.