Логарифмічна функція

Загальний вигляд логарифмічної функції:

Логарифмічна функція має вигляд y = log_аx , де a>0,  a≠1, обернена до показникової у=а^х.

а – основа логорифму

x – підлогорифмічний вираз

Якщо b = a^c <=> тоді c = log_ab.

 a,b,c – дійсні числа, b > 0, a > 0, a ≠ 1

Приклад: 2³ = 8 => log₂8 = 3

Стандартний вигляд логарифма з основою 10 (десятичний логарифм) log₁₀b = lgb

Стандартний вигляд логарифма з основою число е (натуральний логарифм) log_eb = lnb

Властивості логарифмічної функції

1. Область визначення: D(y): x ϵ (0; +∞).
   Підлогарифмічний вираз – додатній. Графік не перетинає вісь Oy.
2. Область значень: E(y): y ϵ (-∞;+∞).
3. Парність / непарність: функція ні парна, ні непарна.
4. Нулі функції: коли x = 1 логарифмічна функція y = loga x набуває значення, рівне 0.
   Графік перетинає вісь Ox в точці (1; 0).
5. Інтервали монотонності:
   Коли a > 1 функція зростає на інтервалі (0; +∞).
   Коли 0 < a < 1 функція спадає на інтервалі (0; +∞).
6. Екстремуми функції: функція не має екстремумів.
7. Інтервали опуклості вгору та вниз:
   Коли a > 1 графік функції опукла в гору на інтервалі (0; +∞).
   Коли 0 < a < 1 графік функції опукла в низ на інтервалі (0; +∞).

Графіки логарифмічної функції

 

 

 

 

Проаналізував графіки бачимо:

• Якщо a<1 , то графік напрямлений догори

• Якщо 0<a<1 , то графік напрямлений донизу

Для прикладу побудуємо графіки двох функцій

1. y=log₂x , основа 2>1

x	1/4	1/2	1	2	4	8
y=log2x	−2	−1	0	1	2	3

 

2. y=log_1/3x , основа 0<1/3<1

x	9	3	1	1/3	1/9
y=log1/3x	−2	−1	0	1	2

Логарифмічна функція y = log_аx і показникова функція у=а^х, де (a>0,a≠1), взаємно обернені.

Графіки цих функцій симетричні відносно прямої y=x.

Тест на знання