Лінійні рівняння

Лінійні рівняння репетитор для підготовки НМТ та ДПА

Лінійні рівняння

Мета уроку:

✅ Повторити основні поняття та означення лінійних рівнянь.
✅ Ознайомитися зі способами розв’язування лінійних рівнянь.
✅ Навчитися розв’язувати рівняння з параметрами.
✅ Розглянути прикладні задачі, що зводяться до лінійних рівнянь.

1️⃣ Означення лінійного рівняння

Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду:

ax+b=0,

де:

• a і b — деякі числа,
• x — змінна (невідоме),
• a≠0.

✏ Приклади лінійних рівнянь:

• 3x−7=0
• −2x+5=1
• ​\( \frac{1}{2}x + 4 = 3 \)​

Лінійні рівняння можуть містити коефіцієнти, дроби або параметри.

---

2️⃣ Розв’язання лінійного рівняння

Щоб знайти корінь рівняння ax + b = 0, потрібно виразити x:

​\( x = -\frac{b}{a}. \)​

Приклади розв’язування лінійних рівнянь

🔹 Приклад 1
Розв’яжемо рівняння:

3x−7=0.

Розв’язання:

1. Переносимо −7 в праву частину, змінюючи знак: 3x=7.
2. Ділимо обидві частини на 3: ​\( x = \frac{7}{3}. \)​
3. Відповідь: x=7.

🔹 Приклад 2
Розв’яжемо рівняння:

5x+2=4−3x.

Розв’язання:

1. Переносимо всі доданки з xx у ліву частину, а числа — у праву: 5x+3x=4−2.
2. Отримуємо: 8x=2.
3. Ділимо на 8: ​\( x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}. \)​

Відповідь: ​\( x = \frac{1}{4}. \)​

3️⃣ Види лінійних рівнянь та їх розв’язки

Лінійні рівняння можуть мати:

✅ Єдиний корінь (звичайна ситуація, наприклад, 2x+3=7).
✅ Безліч розв’язків (якщо рівняння тотожно правильне, наприклад, 0x=0).
✅ Немає розв’язків (якщо рівняння суперечливе, наприклад, 0x=5).

Приклади:

🔹 Приклад 1 (нескінченно багато розв’язків)

2x−4=2(x−2).

Розкриваємо дужки:

2x−4=2x−4.

Рівняння тотожно правильне, тобто має безліч розв’язків.

🔹 Приклад 2 (немає розв’язків)

3x+2=3x+5.

Виносимо 3x у ліву частину:

3x−3x+2=5. 2=5.

Це суперечливе рівняння, отже, розв’язків немає.

4️⃣ Лінійні рівняння з параметром

Іноді рівняння містить параметр aa, що впливає на кількість розв’язків.

🔹 Приклад
Розв’яжемо рівняння з параметром:

ax+5=3.

Знайдемо x:

​\( x = \frac{3 – 5}{a} = \frac{-2}{a}. \)​

✏ Випадки:

• Якщо a≠, рівняння має єдиний корінь ​\( x = -\frac{2}{a} \)​.
• Якщо a=0, рівняння перетворюється на 5=3, що суперечливе, отже, немає розв’язків.

5️⃣ Прикладні задачі на лінійні рівняння

Лінійні рівняння використовуються для розв’язування задач.

🔹 Задача 1
Завдання: Двоє робітників разом виконують завдання за 6 годин. Перший робітник працює вдвічі швидше за другого. За скільки годин виконає завдання кожен окремо?

Розв’язання:
Позначимо час другого робітника за xx.
Тоді перший працює вдвічі швидше, тобто за ​\( \frac{x}{2} \)​ годин.
За умовою:

​\( \frac{1}{\frac{x}{2}} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}. \)​

Розв’язавши це рівняння, отримаємо відповідь.

🔹 Задача 2
Завдання: Квиток у кіно коштує 80 грн. Якщо знижка 20%, то скільки він коштуватиме?

Розв’язання:
Знижка:

​\( 80 \times 0.2 = 16 \text{ грн}. \)​

Ціна зі знижкою:

​\( 80 – 16 = 64 \text{ грн}. \)​

✏ Відповідь: 64 грн.

---

6️⃣ Самостійні завдання

📌 Завдання 1: Розв’яжіть рівняння

4x−7=5x+3.

📌 Завдання 2: Знайдіть корінь рівняння

​\( \frac{3x}{4} – \frac{x}{2} = 5. \)​

📌 Завдання 3: Визначте, при яких значеннях параметра aa рівняння

ax+4=2

має:

• один розв’язок;
• безліч розв’язків;
• жодного розв’язку.

7️⃣ Підсумки уроку

✅ Ми навчилися розв’язувати лінійні рівняння та рівняння з параметрами.
✅ Ознайомилися з випадками, коли рівняння має безліч або жодного розв’язку.
✅ Використовували рівняння для розв’язування практичних задач.

Домашнє завдання

1. Розв’язати рівняння:

• 2x+5=3x−7.
• ​\( \frac{x}{3} + 4 = \frac{x}{2} – 1. \)​

1. Вирішити задачу:

• Відстань між містами 240 км. Одна машина їде зі швидкістю v, інша — на 20 км/год швидше. Запишіть рівняння часу їхньої зустрічі.

🚀 Молодці! До наступного уроку!Лінійні рівняння репетитор для підготовки НМТ та ДПА 🎯