Ірраціональні вирази

Ірраціональні вирази. Спрощення ірраціональних виразів

1. Що таке ірраціональний вираз?

Ірраціональним виразом називається вираз, що містить корінь (√) або іншу ірраціональну функцію.

✍ Приклади ірраціональних виразів:

\[ \sqrt{x + 3}, \quad \frac{5}{\sqrt{2}}, \quad \sqrt[3]{x} – \sqrt{x+1} \]

Тут вираз містить корені і є ірраціональним.

Якщо у виразі немає коренів, він раціональний.
✍ Приклади раціональних виразів:

\[ 2x^2 – 3x + 5, \quad \frac{x}{x+1} \]

2. Основні властивості коренів

Перед спрощенням ірраціональних виразів нагадаємо основні властивості коренів:

Множення коренів $a\cdot$
\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \]

✍ Приклад:$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 $
Ділення коренів
\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}, \quad (b \neq 0) \]

✍ Приклад:$ \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3 $
Винесення множника з-під кореня $a\cdot$
\[ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \]

✍ Приклад:$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} $
Зведення подібних радикалів
\[ a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a+c)\sqrt{b} \]

✍ Приклад:$ 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5} $

3. Спрощення ірраціональних виразів

Приклад 1. Спрощення добутку коренів

Спростити вираз:

\[ \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} \]

Розв’язання:

\[ \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \times 3} = \sqrt{36} = 6 \]

📌 Відповідь: 6.

Приклад 2. Спрощення дробу під коренем

Спростити вираз:

\[ \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} \]

Розв’язання:

\[ \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2 \]

📌 Відповідь: 2.

Приклад 3. Винесення множника з-під кореня

Спростити вираз:

\[ \sqrt{72} \]

Розв’язання:

\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]

📌 Відповідь: $ \sqrt{2}. $

4. Раціоналізація знаменника

Якщо в знаменнику дробу є корінь, то його потрібно позбутися.

Приклад 4. Раціоналізація знаменника

Спростити вираз:

\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \]

Розв’язання:
Помножимо чисельник і знаменник на $ \sqrt{5} $:

\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]

📌 Відповідь:$ \frac{3\sqrt{5}}{5} $.

Приклад 5. Раціоналізація знаменника при двочленні

Спростити вираз:

\[ \frac{5}{2 + \sqrt{3}} \]

Розв’язання:
Помножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз $ 2 – \sqrt{3} $:

\[ \frac{5}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{5(2 – \sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} \]

В знаменнику використаємо формулу різниці квадратів:

\[ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 – 3 = 1 \]

Отже, отримаємо:

\[ 5(2-\sqrt{3}) = 10 – 5\sqrt{3} \]

📌 Відповідь:

\[ 10 – 5\sqrt{3} \]

5. Закріплення матеріалу

Виконайте самостійно:

Спростити вирази:

$ \sqrt{18} $
$ \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} $
$ \frac{4}{\sqrt{7}} $

Раціоналізувати знаменник:

$ \frac{3}{\sqrt{6}} $
$ \frac{5}{1 + \sqrt{2}} $

✏ Домашнє завдання:
Спростити вирази та раціоналізувати знаменник:

$ \frac{6}{\sqrt{8} + \sqrt{2}} $
$ \sqrt{50} + \sqrt{8} – \sqrt{2} $
$ \frac{4}{3 + \sqrt{5}} $

6. Підсумок уроку

🔹 Ірраціональні вирази – це вирази, які містять корені.
🔹 Ми навчилися спрощувати вирази, використовуючи властивості коренів.
🔹 Позбулися коренів у знаменнику за допомогою раціоналізації.

📌 Якщо виникли запитання – розберемо ще кілька прикладів! 😊