Обернена пропорційність

Загальний вигляд функціі оберненої пропорційності:

Обернена пропорційність : у = k/x, де

у – залежна величина (значення функції),

k – сталий коефіцієнт,

х – аргумент функції.

Числова функція — залежність  змінної у від змінної х, за якої кожному зна­ченню змінної х з деякої множини (область визначення функції) відповідає єдине значення у з деякої множини (область значень функції).

х — аргумент;

у — функція (значення функції).

Функція виду (задана формулою) у = k/x,  де k ≠ 0 –  називається оберненою пропорційністю.

Властивості функції оберненої пропорційності:

Властивості функції y = k/x, якщо k > 0

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім x = 0,
2. у > 0, якщо х > 0, у < 0, якщо х < 0.
3. Функція спадає на проміжках (−∞;0) і (0;+∞).
4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.
5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.
6. Функція неперервна на проміжках  (−∞;0) і (0;+∞) і зазнає розриву, якщо x=0.
7. Область значень — об’єднання двох відкритих променів  (−∞;0)∪(0;+∞).

Властивості функції y = k/x, якщо k < 0

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім  x=0.
2. y>0, якщо x<0; y<0, якщо x>0
3. Функція зростає на проміжках (−∞;0) і (0;+∞).
4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.
5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.
6. Функція неперервна на проміжках (−∞;0) і (0;+∞) і зазнає розриву, якщо x=0.
7. Область значень — об’єднання двох відкритих променів (−∞;0)∪(0;+∞).

Графік функції оберненої пропорційності:

Графік функції оберненої пропорційності називається гіпербола.

Розглянемо функцію y=2/x. Розглянемо випадок, коли k>0. В даному випадку, k=2. Складемо таблицю значень цієї функції:

х	1	2	-1	-1	4	1/2	-4	-1/2
у	2	1	-2	-1	1/2	4	-1/2	-4

Побудуємо ці точки на координатній площині. Вони намічають деяку лінію, що складається з двох гілок. Проведемо її.

 

Ця лінія називається гіперболою.

Тепер розглянемо випадок, коли k<0; нехай, наприклад, k=−1.

Побудуємо графік функції y=-1/x (тут k=−1).

У такий спосіб ми отримаємо гіперболу, гілки якої розташовані в другому і четвертому координатних кутах.

Графік функції y=−f(x) симетричний графіку функції y=f(x) щодо осі x.

Зокрема, це означає, що графік функції y=−f(x) симетричний графіку функції y=f(x) щодо осі x.

Отже, графік функції y=−1/x симетричний графіку y=1/x відносно осі абсцис.

Взагалі, графіком функції y=k/x, k≠0 є гіпербола, гілки якої розташовані в першому і третьому координатних кутах, якщо k>0, і в другому та четвертому координатних кутах, якщо k<0.

Точка (0;0) — центр симетрії гіперболи, осі координат — асимптоти гіперболи.

Зазвичай кажуть, що дві величини x і y обернено пропорційні, якщо вони пов’язані співвідношенням xy=k (де k — число, відмінне від 0) або, що те ж саме, y=k/x.

З цієї причини функцію y=k/x називають оберненою пропорційністю (за аналогією з функцією y=kx, яку називають прямою пропорційністю).

Число k — коефіцієнт оберненої пропорційності.

Необхідна допомога ? Звертайтеся до нашого репетиторського центру