Інтеграл - IT-школа

Інтеграл і його застосування

Інтеграл – границя суми нескінченно великої кількості нескінченно малих величин, одержаних певним способом з відповідної функції. Знаходження похідних та знаходження невизначених інтегралів (диференціювання та інтегрування) – це дві взаємно зворотні дії.

Будь-який табличний інтеграл (та й взагалі будь-який невизначений інтеграл) має вигляд:

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)+𝐶 , 𝐶 – константа

Позначення і терміни:

∫ – Значок інтеграла.

𝑓(𝑥) – Підінтегральна функція.

𝑑𝑥 – Диференціал значок.

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 – Підінтегральний вираз або “начинка” інтеграла.

𝐹(𝑥) – Первісна функція.

𝐹(𝑥)+𝐶 – Багато первісних функцій.

Вирішити інтеграл – це означає знайти певну функцію, користуючись деякими правилами, прийомами та таблицею.

Властивості невизначеного інтеграла

З означень первісної та невизначеного інтеграла випливають наступні властивості (за умов існування первісних та похідних на інтервалі J):

Основні властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції: (∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥)′=𝑓(𝑥)

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу: ∫𝐹′(𝑥)𝑑𝑥=𝐹(𝑥)+𝐶

3. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто: ∫𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑘∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥, якщо 𝑘≠0.

4. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто: ∫(𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))𝑑𝑥=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥±∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Таблиця первісних та інтегралів

Функція f(x)	Загальний вигляд первісних F(x) + C	Невизначений інтеграл
0	C	∫0dx = C
1	x+C	∫dx = x + C
xⁿ(n≠-1)	(xⁿ⁺¹/n+1)+C	∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹/n+1)+C
1/x	ln│x│+C	∫dx/x = ln│x│+C
sin x	-cos x + C	∫sinxdx = -cos x + C
cos x	sin x + C	∫cosxdx = sin x + C
1/cos²x	tg x + C	∫dx/cos²x = tg x + C
1/sin²x	-ctg x + C	∫x/sin²x = -ctg x + C
e^x	e^x= e^x + C	∫e^xdx = e^x + C
a^x	(a^x/lna) + C	∫a^xdx = (a^x/lna) + C

Приклад 1

Завдання: Знайдіть $\int (e^{x} + \sin x - \frac{1}{x}) d x$

Розв’язання:

$\int (e^{x} + \sin x - \frac{1}{x}) d x = \int e^{x} d x + \int \sin x d x - \int \frac{1}{x} d x = e^{x} - \cos x - \ln | x | + C$

$\int (e^{x} + \sin x - \frac{1}{x}) d x = \int e^{x} d x + \int \sin x d x - \int \frac{1}{x} d x = e^{x} - \cos x - \ln | x | + C$ Відповідь: $e^{x} - \cos x - \ln | x | + C$

Приклад 2

Завдання: Знайдіть $\int (1 + 3 e^{x} - 4 \cos x) d x$

Розв’язання:

$\begin{array}{l} \int (1 + 3 e^{x} - 4 \cos x) d x = \int 1 d x + \int 3 e^{x} d x - \int 4 \cos x d x = \int d x + 3 \int e^{x} d x - 4 \int \cos x d x = \\ = x + 3 e^{x} - 4 \sin x + C \end{array}$

Відповідь: $x + 3 e^{x} - 4 \sin x + C$

Поняття визначеного інтеграла

Нехай f(x) – неперервна на відрізку [a;b] .

Фігура, що належить площині xOy і обмежена відрізком [a;b] осі Ox, прямими x=a, x=b і кривою y= f(x), називається криволінійною трапецією.