Графіки залежності між величинами

1. Що таке залежність між величинами?

У житті ми часто зустрічаємо ситуації, коли значення однієї величини залежить від значення іншої. Наприклад:

• Чим довше ви їдете на автомобілі з постійною швидкістю, тим більшу відстань подолаєте. (Відстань залежить від часу).
• Чим більше товару ви купуєте за фіксованою ціною за одиницю, тим більшу суму грошей ви заплатите. (Загальна вартість залежить від кількості товару).
• Температура повітря протягом дня змінюється залежно від часу.

Такі зв’язки між величинами називаються залежностями. Одну величину називають залежною змінною, а іншу – незалежною змінною. Значення незалежної змінної ми можемо обирати, а значення залежної змінної визначається відповідно до обраного значення незалежної змінної.

2. Способи подання залежностей:

Залежності між величинами можна подавати різними способами:

• Описово: словами, як у наведених вище прикладах.
• Таблично: за допомогою таблиці, яка містить відповідні значення двох величин.
• Формулою: за допомогою математичного виразу, що пов’язує дві величини.
• Графічно: за допомогою графіка на координатній площині.

Сьогодні ми детальніше розглянемо графічний спосіб подання залежностей.

3. Що таке графік залежності?

Графік залежності між величинами – це наочне зображення зв’язку між двома величинами на координатній площині.

• Зазвичай на горизонтальній осі (осі абсцис, осі $x$) відкладають значення незалежної змінної.
• На вертикальній осі (осі ординат, осі $y$) відкладають відповідні значення залежної змінної.
• Кожна пара відповідних значень величин утворює точку на координатній площині.
• З’єднуючи ці точки (за потреби), ми отримуємо лінію, яка і є графіком залежності.

4. Побудова графіка за таблицею значень:

Розглянемо приклад. Нехай ціна одного кілограма яблук становить 15 гривень. Складемо таблицю залежності вартості куплених яблук від їхньої маси:

Щоб побудувати графік цієї залежності:

1. Оберемо осі: На горизонтальній осі (осі $x$) відкладемо масу яблук (незалежна змінна), а на вертикальній осі (осі $y$) – вартість (залежна змінна).
2. Виберемо масштаб: На осі $x$ зручно взяти 1 клітинку за 1 кг, а на осі $y$ – 1 клітинку за 5 грн (або 2 клітинки за 15 грн). Обов’язково підпишіть осі та вкажіть одиниці вимірювання.
3. Позначимо точки: Кожній парі значень з таблиці відповідає точка на координатній площині:
   • (1; 15)
   • (2; 30)
   • (3; 45)
   • (4; 60) Позначте ці точки на графіку.
4. З’єднаємо точки: Оскільки вартість змінюється лінійно зі зміною маси, ми можемо з’єднати ці точки прямою лінією, що проходить через початок координат (0 кг – 0 грн).

(Спробуй самостійно побудувати цей графік у своєму зошиті.)

5. Читання інформації з графіка:

Графік дає нам наочне уявлення про залежність між величинами. Ми можемо використовувати його, щоб:

• Визначити значення залежної змінної за заданим значенням незалежної змінної. Наприклад, щоб дізнатися вартість 2.5 кг яблук, знайдіть на осі $x$ точку 2.5, проведіть від неї вертикальну лінію до графіка, а потім проведіть горизонтальну лінію до осі $y$. Точка перетину з віссю $y$ покаже вартість.
• Визначити значення незалежної змінної за заданим значенням залежної змінної. Наприклад, щоб дізнатися, скільки кілограмів яблук можна купити за 50 грн, знайдіть на осі $y$ точку 50, проведіть від неї горизонтальну лінію до графіка, а потім проведіть вертикальну лінію до осі $x$. Точка перетину з віссю $x$ покаже масу яблук.
• Проаналізувати характер залежності: Чи зростає одна величина зі збільшенням іншої (пряма залежність), чи зменшується (обернена залежність), чи залежність є більш складною.

(Розглянь побудований тобою графік і спробуй відповісти на запитання: Яка вартість 3.5 кг яблук? Скільки кілограмів яблук можна купити за 40 грн?)

6. Приклади графіків залежностей з реального життя:

• Графік температури протягом дня: На горизонтальній осі – час, на вертикальній – температура. Графік може показувати, як температура підвищувалася вранці, досягала максимуму вдень і знижувалася ввечері.
• Графік руху автомобіля: На горизонтальній осі – час, на вертикальній – відстань. Графік може показувати, як автомобіль рухався з постійною швидкістю, зупинявся, а потім продовжував рух з іншою швидкістю.
• Графік кількості проданих квитків у кінотеатрі протягом тижня: На горизонтальній осі – дні тижня, на вертикальній – кількість проданих квитків. Графік може показувати, що найбільше квитків продається у вихідні дні.

7. Практичні завдання:

1. Побудуйте графік залежності периметра квадрата від довжини його сторони, якщо довжина сторони може набувати значень 1 см, 2 см, 3 см, 4 см. Складіть спочатку таблицю значень. (Формула периметра квадрата: $P=4a$, де $a$ – довжина сторони).

2. За графіком, зображеним нижче (намалюйте простий графік залежності, наприклад, проходження певної відстані пішоходом за кілька годин), визначте:а) Яку відстань пройшов пішохід за 2 години?б) Скільки часу знадобилося пішоходу, щоб пройти 10 км?в) Якою була швидкість пішохода на різних ділянках шляху (якщо графік складається з кількох прямих відрізків)?

3. Температура повітря вимірювалася кожні 2 години протягом 12 годин. Результати наведено в таблиці:

   | Час (год) | Температура (°C) |

   | :——-: | :—————: |

   | 0 | -2 |

   | 2 | 0 |

   | 4 | 3 |

   | 6 | 5 |

   | 8 | 4 |

   | 10 | 1 |

   | 12 | -1 |

   Побудуйте графік залежності температури від часу.

Підсумок уроку:

Сьогодні ти дізнався про:

• Що таке графік залежності між величинами.
• Як будувати графіки за таблицями значень.
• Як читати інформацію з графіків.
• Як графіки допомагають візуалізувати залежності.

Графіки є потужним інструментом для аналізу та розуміння зв’язків між різними величинами, які ми зустрічаємо в нашому житті. Продовжуй практикуватися у побудові та читанні графіків, і ти зможеш отримувати багато корисної інформації з їхнього вигляду!