Степеневі вирази індивідуальний курс підготовки до НМТ з математики

Урок з математики для 11 класу

Степеневі вирази. Спрощення степеневих виразів

Мета уроку:

✅ Повторити поняття степеня числа та його властивості.
✅ Навчитися спрощувати вирази, що містять степені.
✅ Розглянути способи перетворення степеневих виразів.

1️⃣ Повторення: що таке степінь числа?

Степенем числа називають добуток однакових множників.

Означення:
Якщо $aa$ – будь-яке число, а $n$ – натуральне число, то степінь числа $aa$ з показником $nn$ записується так:

$an=a⋅a⋅a⋯a⏟n множників $ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ множників}} $$

Приклади:

$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $
$ 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625 $

Окремі випадки:

$ a^1 = a $ (число в першому степені – це саме число).
$ a^0 = 1 $, якщо $a≠0a \neq 0$ (будь-яке число в нульовому степені дорівнює 1).

2️⃣ Властивості степенів

Для спрощення виразів використовують наступні властивості:

Властивість	Формула	Приклад
Множення степенів з однаковою основою	$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $	$ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 $
Ділення степенів з однаковою основою	$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $	$ \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 $
Піднесення степеня до степеня	$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $	$ (3^2)^4 = 3^{2\cdot4} = 3^8 $
Добуток у степені	$ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $	$ (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 $
Дріб у степені	$ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} $	$ \left( \frac{4}{5} \right)^3 = \frac{4^3}{5^3} $
Степінь з від’ємним показником	$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $	$ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $

3️⃣ Спрощення степеневих виразів

Щоб спростити вираз, необхідно:
✅ Використовувати властивості степенів.
✅ Зводити основи до однакових.
✅ Заміняти від’ємні степені дробами.

Приклади спрощення:

Приклад 1:

Спростити вираз:

\[ \frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4} \]

✏ Розв’язання:
Використовуємо властивості множення та ділення:

\[ \frac{2^{5+3}}{2^4} = \frac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 \]

✏ Відповідь: $16$ .

Приклад 2:

Спростити вираз:

\[ (3^2)^3 \]

✏ Розв’язання:
Застосовуємо правило степеня до степеня:

\[ (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \]

✏ Відповідь: $729$ .

Приклад 3:

Спростити вираз:

\[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \]

✏ Розв’язання:
Від’ємний степінь означає, що потрібно взяти обернене число:

\[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \]

✏ Відповідь: $ \frac{9}{4} $.

4️⃣ Самостійне виконання вправ

📌 Завдання 1: Спростити вираз

\[ \frac{5^7 \cdot 5^3}{5^4} \]

📌 Завдання 2: Обчислити значення

\[ (2^{-3})^2 \]

📌 Завдання 3: Виразити у вигляді степеня

\[ \sqrt[3]{8^2} \]

5️⃣ Підсумки уроку

✅ Ми розглянули степеневі вирази та їх властивості.
✅ Навчилися спрощувати вирази за допомогою степеневих правил.
✅ Виконали вправи для закріплення матеріалу.

Домашнє завдання:

Спростити вирази:

$ \frac{4^5}{4^2} $
$ (x^3)^4 $
$ (5^{-2})^{-3} $

Обчислити:

$ 2^{-3} + 2^{-2} $
$ \frac{3^4}{3^6} $

🔹 Запитання для обговорення:

Як перетворити вираз зі степенем з від’ємним показником у звичайний дріб?
Чому будь-яке число в нульовому степені дорівнює 1?

🎯 На наступному уроці ми розглянемо степені з дробовими показниками та їх властивості.

🚀 Дякую за увагу! Бажаю успіхів у вивченні математики!

Властивість	Формула	Приклад
Множення степенів з однаковою основою	\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)	\( 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \)
Ділення степенів з однаковою основою	\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)	\( \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 \)
Піднесення степеня до степеня	\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)	\( (3^2)^4 = 3^{2\cdot4} = 3^8 \)
Добуток у степені	\( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)	\( (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 \)
Дріб у степені	\( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)	\( \left( \frac{4}{5} \right)^3 = \frac{4^3}{5^3} \)
Степінь з від’ємним показником	\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)	\( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)