Показникові рівняння

Показниковими рівняннями називають рівняння виду 𝑎^𝑓(𝑥)=𝑎^𝑔(𝑥), де 𝑎 — додатне число, відмінне від 1, і рівняння, що зводяться до цього виду.

Методи розв’язування показникових рівнянь:

Приклад. Розв’яжіть рівняння 5^х = 125.

Розв’язання: 5^х = 125, а 125 = 5³, то маємо 5^х = 5³, звідси х = 3.

Приклад. Розв’яжіть рівняння .15^{х2 – 5х + 6} = 15⁰

Розв’язання: 1 = 15⁰, то , х² – 5х + 6 = 0, звідси х₁ = 2, х₂ = 3.

Спосіб зведення до спільної основи

Як відомо, показникова функція у = а^х, а > 0 і а ≠ 1 моно­тонна, тому кожне своє значення вона приймає тільки при од­ному значенні аргументу. Із рівності  випливає, що f(x) =g(x).

Приклад. Розв’яжіть рівняння 2^х · 5^х = 0,1(10 ^{х – 1})³.

Розв’язання: 2^х · 5^х = 0,1(10 ^{х – 1})³; 10^х = 10^-1 · 10^3х – 3; 10^х = 10^{3х – 4}; х = 3х – 4; х = 2.

Спосіб винесення спільного множника за дужки.

Приклад. Розв’яжіть рівняння 3^х – 2 · 3^{х – 2} = 63.

Розв’язання: 3^х – 2 · 3^{х – 2} = 63; 3^{х – 2}(3² – 2) = 63; 3^{х – 2}  · 7 = 63; 3^{х – 2}  = 9; х – 2 = 2; х = 4.

Спосіб приведення рівняння до квадратного.

Приклад. Розв’яжіть рівняння 49^х – 8 · 7^х + 7 = 0.

Розв’язання: 49^х – 8 · 7^х + 7 = 0; (7²)^x – 8 · 7^х + 7 = 0; (7^х)² – 8 · 7^х + 7 = 0.

Нехай 7^х =t, тодіt² –8t + 7 = 0; t₁ = 7;t₂ = 1.

Отже: 1) 7^х = 7; х = 1; 2) 7^х= 1; 7^х = 7⁰; х = 0.

Графічний спосіб розв’язування показникових рівнянь

Приклад. Розв’яжіть рівняння 5^𝑥=6−𝑥

Розв’язання: Побудуємо в одній системі координат графіки функцій 𝑦=5^𝑥 і 𝑦=6−𝑥