Похідна функції

Похідна функції

Прокрутити вниз

Похідна функції 

Похідна в точці- границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

y’=f(x)  

Функція, яка має похідну в точці x0, називається диференційованою в цій точці.

Поняття похідної та диференційованості функції в точці є тотожними. Тому часто операцію знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Диференціювання — це метод обчислення співвідношення приросту залежної змінної y по відношенню до приросту незалежної змінної x. Це співвідношення приростів називається похідною функції y по змінній x. Якщо говорити більш точно, залежність y від x означає, що y функція від x.

Зворотним до диференціювання є інтегрування — процес знаходження первісної.

Геометричний зміст похідної

Значення похідної в точці  x0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x0  і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної.

k=tgα=f'(x)  кутовий коефіцієнт дотичної з рівнянням  y=kx+с,

y= f(x0) + f'(x0)(x-x0) – рівняння дотичної.

Геометричний зміст похідної
Геометричний зміст похідної

Функціональна залежність позначається y = ƒ(x), де ƒ позначає функцію.

  • Якщо x та y дійсні числа, і якщо графік функції y зображено відносно x, похідна дорівнює нахилу дотичної до цього графіка в кожній точці.

Найпростіший випадок коли y — лінійна функція від x, це означає що графік функції y відносно x пряма лінія. В такому випадку, y = ƒ(x) = mx + b, для дійсних чисел m та b, і нахил m визначається так

m=Δy/Δx

де символ Δ (дельта) — це є скорочення для «зміни на проміжку».

y + Δy = ƒ(x + Δx) = m(x + Δx) + b = mx + b + mΔx = y + mΔx.

З цього випливає, що Δy = mΔx.

  • Якщо функція ƒ не лінійна (тобто графік функції не пряма лінія), тоді приріст y поділений на приріст x змінюється: диференціювання це спосіб обчислення точного значення відношення приростів для будь-якого значення x.

Механічний зміст похідної

Похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин.

Якщо функція S=S(t) описує рух матеріальної точки, тобто залежність пройденої відстані S від часу t , то її похідна задає залежність миттєвої швидкості v від часу t ,  S'(t)=v(t). Похідна швидкості відповідно є прискоренням v'(t)=a(t).

Таблиця похідних основних функцій

Похідні елементарних функцій

Похідні складених функцій
c’=0, x’ = 1; (kx+b)’ = k; (ku+b)’ = k∙u’;
(xn)’ = nxn-1; (un)’ = nun-1u’;
(ex)’=ex; (eu)’ = aulnau’;
(ax)’ = ax lna; (ln u)’ = (1/u)u’;
(lnx)’ = 1/x; (lg u)’ = (1/u)lgeu’;
(lgx)’ = (1/x)lge; (logau)’ =(u’/ulna);
(logax)’ = (1/ x )lna (sin u)’ =cosu∙u’;
(sin x)’ = cos x;

(cos x)’ = -sin x;

 (cos u) = -sinu∙u’;
(tgx)’ = 1/cos2x; (tg u)’ = u’/cos2u;
(ctg x)’= -(1/sin2x); (ctg u)’ = -(u’/sin2u);
(arcsin x)’=1/(√1-x2); (arcsin u)’ = u’/(√1-u2);
(arccos x)’ = -(1/(√1-x2)); (arccos u)’ = -(u’/(√1-u2));
(arctg x)’ = 1/1+x2; (arctg u)’ = u’/1+u2;
(arcctg x)’ = -(1/1+x2); (arcctg u)’ = -(u’/1+u2);
(xx)’ = xx(1+ ln x); (uu)’ = uu(1+ln u)u’;

Правила диференціювання функцій

(u±v)’ = u’ ± v’;
(u·v)’ = u’v + uv’;
(Cu)’ = Cu’;
(u/v)’ = (u’v-uv’)/v2;
(f(u(x)))’ = f'(u(x))·u'(x);
(f(kx+b))’ = k·f'(kx+b);

Алгоритм знаходження похідної для функції y=f(x)

  1. Зафіксувати значення x, знайти f(x).
  2. Дати аргументу x приріст Δx, перейти в нову точку x+Δx, знайти f(x+Δx).
  3. Знайти приріст функції: Δy=f(x+Δx)−f(x).
  4. Додати відношення Δy/Δx.
  5. Обчислити limΔy/Δx. Ця границя і є f′(x) .      Δx→0

Подивитися, проаналізувати та закріпити знання через приклади знаходження похідної можна на наших уроках, з нашими неперевершеними викладачами в нашому центрі або онлайн.

Тести для перевірки знань: